Комплексные числа

15.05.2016

2610

Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Разнообразие существующих в науке чисел, таких как натуральные, простые, рациональные, вещественные дополняют комплексные числа. Рассмотрим что это такое, и в каких случаях они находят применение.

Понятие о комплексных числах

Запись вида m + ni, где m и n – действительные числа, а i – мнимая единица, представляет собой отображение алгебраической формы представления комплексного числа. Мнимая единица – это квадратный корень из -1, то есть i² = -1.

Графическое отображение комплексной формы можно представить на координатной оси (рис.1). Горизонтальная ось – это действительные числа с шагом, равным 1, то есть в нашем случае это ось M (1, 2, 3…). Вертикальная ось N будет мнимой с шагом, равным i (i, 2i, 3i…).

Действительные числа представляют собой частный случай комплексных, у которых мнимая половина равна 0 (k = m). Возможна и обратная ситуация: когда действительная половина равна 0, и комплексное отображение оформляется в виде k = ni.

Запись вида k = 0, k = -7, k = 6i, k = -2i будут отображаться в качестве точек на комплексной плоскости. Числа вида k = 2 + 5i, k = -2 – 4i будут являться векторами, поскольку действительная и мнимая части являются ненулевыми величинами.

Понятие о комплексной плоскости было введено еще в 16 веке ученым Бомбелли. Он описал основы работы над ней, а создателем привычной для нас теории о мнимых величинах стал Эйлер.

Необходимость в введении понятия о комплексных числах появилась с возникновением квадратных уравнений, у которых дискриминант меньше 0. Долгое время такие уравнения были единственной сферой их использования, но сейчас комплексные числа активно применяются в электротехнике, теориях упругости и колебаний, аэродинамике и других областях физики.

Другие виды записи комплексного числа

Тригонометрическая запись.

Этот вид записи оформляется в виде k = |k| (cosα + i * sinα), где |k| - модуль комплексного числа, а α – его аргумент.

Комплексные числа представляются на координатной плоскости в виде векторов. Отображая такой вектор, определяем, что модулем комплексного числа будет его длина, а аргументом – угол от положительной части действительной оси M до самого вектора, берущего начало из центра координат (рис.2).

Модуль находится по формуле:

|k| = √(m² + n²)

Формула для вычисления аргумента, если вектор располагается в положительной части действительной оси, выглядит так:

arg α = arctg n/m

Если вектор расположен во второй координатной четверти (n>0, m<0), то аргумент находится по формуле:

arg α = π + arctg n/m

Для третьей координатной четверти (при n<0, m<0), аргумент исчисляется по формуле:

arg α = -π + arctg n/m

Показательная запись.

Комплексное число вида k = m + ni можно представить в показательной форме, и это будет выглядеть так:

k = |k| * e^iα, где |k| - модуль комплексного числа, а α – его аргумент.

Чтобы записать комплексное число в показательном виде, надо знать его модуль и аргумент, то есть длину вектора и его угол относительно положительной полуоси действительной части.

Пусть для вектора на рис.2 m = (3√2)/2, n = 2√2, а α = π/4.

Тогда |k| = √(m² + n²) = √(9/2 + 8) = √25/2 = 5/√2 = (5/√2)/2.

Показательная форма записи числа k будет выглядеть так:

k = 5/√2 * e^i*π/4.

Арифметические преобразования над комплексными числами

Сложение.

Эта операция представляет собой последовательное суммирование действительных и мнимых половин комплексного числа по отдельности.

Например:

k = 3 + 2i

d = 7 – 5i

k + d = 3 + 7 + 2i – 5i = 10 – 3i.

Вычитание.

Идентично сложению, необходимо находить разность отдельно действительной и мнимой частей.

Например:

k = 6 + √7 – 3i

d = 4 – 5i

6 + √7 – это действительная часть комплексного числа k. Вычитание происходит следующим образом:

k – d = 6 + √7 – 3i – (4 – 5i) = 2 + √7 + 2i

2 + √7 – действительная часть полученной разности, а 2i – мнимая.

Умножение.

Здесь тоже нет принципиального отличия от двух предыдущих операций, надо лишь знать основы алгебраического умножения.

Например:

k = 1 + 8i

d = 4 – 2i

k * d = (1 + 8i)(4 – 2i) = 4 – 2i + 32i – 16i² = 4 + 30i + 16 = 20 + 30i = 10(2 + 3i).

Для преобразования этой записи использовано правило, что i² = -1.

Деление.

Эта операция немного отличается от остальных, поскольку надо последовательно умножить числитель и знаменатель на сопряженную величину. Комплексно-сопряженные величины имеют отличие только в знаке мнимой части.

Например:

k = 3 + i

d = 5 – 2i

k/d = (3 + i)/(5 – 2i)

В этом случае сопряженной величиной будет знаменатель, записанный с инверсным знаком мнимой части: 5 + 2i.

Получаем:

k/d = (3 + i)(5 + 2i)/(5 – 2i)(5 + 2i) = (15 +6i +5i + 2i²)/(25 – 4i²) = (13 + 11i)/29

Представление иррационального комплексного числа в алгебраической форме.

Запись вида k = 5/(√3 – i) необходимо привести к форме k = m + ni. Для этого необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженную знаменателю величину. В данном случае это √3 + i.

Получаем:

k = 5(√3 + i)/(√3 – i)(√3 + i) = (5√3 + 5i)/(3 – i²) = (5√3 + 5i)/4 = 5√3/4 + 5i/4.

Возведение в степень.

Если комплексное число нужно возвести в квадрат, то это сделать довольно просто, перемножив многочлен на себя.

Например, k² = (m + ni)² = (m + ni) * (m + ni) = m² + 2mni + (ni)²= m2 + 2mni – n²

Если степень больше двойки, то подобный метод решения задачи становится более сложным. В таком случае следует воспользоваться тригонометрической формой записи на комплексной плоскости:

k = |k| (cosα + i * sinα)

Для такого способа отображения легче возводить число в требуемую степень p. Для этого следует применить формулу Муавра:

kp = |k|p (cos(p*α) + i * sin(p*α))

Извлечение корня.

Запись вида k = √-9 имеет решение, если мы имеем дело с комплексной плоскостью. Уравнение имеет 2 корня:

k1 = -3i

k2 = 3i

Это легко проверить:

(-3i)² = 9 * i² = -9

(3i)² = 9 * i² = -9

Использование комплексных чисел раздвинуло границы области применения математики. Ими несложно оперировать, а для физики комплексные числа позволили решить многие недостижимые ранее задачи. Так, они применяются при расчетах цепей переменного тока, что является основой электротехники. Ведь сопротивление резистора – это действительная величина, а сопротивление катушки и конденсатора являются мнимыми параметрами. Многие дифференциальные уравнения, описывающие большинство физических явлений, не имеют решения без введения комплексной плоскости. Даже несмотря на то, что физическим смыслом обладает только действительная часть комплексного числа, все же они описывают большинство процессов в мире с большей полнотой, чем при решении только в области вещественных значений.

Читать дальше: