Двоичная система счисления

14.05.2016

5863

История возникновения, характеристики, перевод из двоичной системы счисления в десятичную. Математические операции в двоичной системе счисления: сложение, вычитание, умножение, деление.

Система счисления – это способ отображения чисел на бумаге. Они используются в расчетах на оборудовании и цифровой аппаратуре. Двоичная система счисления сейчас представляет собой один из наиболее востребованных инструментов в вычислительных приборах. Рассмотрим особенности работы с этой системой счисления.

История возникновения двоичной системы счисления

Ученые древнего мира предложили производить вычисления, используя лишь 2 цифры, и предположили, что за таким методом расчета будущее. Это объясняется простотой такого метода исчисления: всего 2 положения (0 и 1), 2 позиции, например, есть сигнал или нет сигнала. Немецкий математик Лейбниц полагал, что математические операции, осуществляемые над 2 цифрами, несут в себе определенный порядок.

До 40-х годов 20 века теория двоичной системы не развивалась, пока американский ученый Клод Шеннон не предложил применять ее в работе электронных схем. Оказалось, что их использование в ПЭВМ гораздо предпочтительнее, ведь человеку непросто запоминать громоздкое скопление нулей и единиц. А в компьютере достаточно создать устройство, имеющее логические 0 и 1, то есть обладающее не более 2 логическими состояниями. Это может быть намагниченный или размагниченный сердечник, закрытый или открытый трансформатор и т.д. Всего 2 положения, а не 10, как могло бы быть при использовании десятичной системы при компьютерных вычислениях.

Характеристики двоичной системы счисления

К особенностям двоичной системы счисления следует отнести:

Использование всего пары цифр (0 и 1). Основание такой системы равно 2.
Алгебраические операции, проводимые с числами из двух цифр, не представляют большой сложности.
Хранение и преобразование сигналов видеоаппаратурой и приборами записи осуществляется в коде, состоящем из 0 и 1.
Цифровые каналы связи обмениваются данными, используя их представление в виде 0 и 1.

Счет в двоичной системе

Рассмотрим, как правильно считать и выполнять более сложные преобразования, если в наличии всего 2 цифры:

0 – ноль.

1 – один.

Далее должна идти цифра 2. Она записывается в виде 2 цифр с повышением разряда числа:

10 – два.

И затем для каждой цифры по порядку идет повышение разряда:

11 – три.

100 – четыре.

101 – пять.

110 – шесть.

111 – семь.

После 7 цифры записываются в виде 4 разрядов:

1000 – восемь.

1001 – девять.

1010 – десять.

1011 – одиннадцать.

1100 – двенадцать.

1101 – тринадцать.

1110 – четырнадцать.

1111 – пятнадцать.

Далее цифры будут представлены в виде 5 разрядов, пока не исчерпаются все возможные комбинации, после этого произойдет очередное повышение разряда.

Перевод чисел из двоичной системы в десятичную

Представление десятичных чисел в двоичной системе делает их довольно громоздкими. Рассмотрим как происходит обратный процесс: перевод числа, состоящего из 0 и 1, в удобный для нас вид. Например, нужно перевести двоичный код 10101110 в десятичный вид.

Его можно разбить по степеням, как это выполняется в десятичной системе. Так, число 1587 можно отобразить как:

1000 + 500 + 80 + 7.

Или еще одним способом:

1*10³ + 5*10² + 8*10¹ + 7*10⁰.

В предыдущей записи просуммированы степени, соответствующие разряду каждой цифры за вычетом 1. За основание степени взято число10, потому что это десятичная система счисления. Этот метод можно применить к числу, представленному в двоичном виде. Только за основание степени следует брать цифру 2. Получается:

10101110 = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 174.

Степени двойки выбираются по следующему принципу: необходимо посчитать разряд цифры и вычесть 1 из этого значения. Следует помнить, что разряд увеличивается справа налево. Так, самая первая единица имеет восьмой разряд, тогда ее надо умножить на 2⁷ и т.д.

Таким образом, двоичная форма числа 10101110 – это 174 в десятичном представлении. Корректная запись выглядит так:

10101110₂ = 174₁₀.

Бывает необходимость в обратном процессе: перевести десятичный вид записи в последовательность из 0 и 1. Это выполняется путем деления на 2 и образованием двоичного числа из остатка. Например, число 69.

Делимое	Делитель	Частное	Остаток
69	2	34	1
34	2	17	0
17	2	8	1
8	2	4	0
4	2	2	0
2	2	1	0
1	2	0	1

Смотрим на остаток. Получаем число в двоичной форме, начиная с последней строчки: 1000101 (эти цифры расположены в столбце «Остаток», если смотреть снизу вверх). Нужно проверить полученный результат:

1000101 = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64 + 4 +1 = 69.

Математические операции с двоичными числами

Сложение.

Это основная арифметическая операция при расчетах на компьютерах. Основные принципы сложения двоичных чисел опираются на правила:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Таким образом, складывая в столбик 1101₂ и 110₂, получаем 10011₂ или 19₁₀.

Вычитание.

Эта операция идентична сложению, если представить, что одно из двоичных чисел является отрицательным. В таком случае нужно учитывать модули складываемых чисел.

Правила, используемые при вычитании:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

0 – 1 = 1 (занимаем из старшего разряда).

1 – 1 = 0

Например, вычитаем из 1110₂ число 101₂, получаем 1001₂ или 9₁₀.

Умножение.

Это непростая операция над кодом из 0 и 1. Вычислительные машины имеют специальный регистр, который накапливает промежуточные суммы и путем сдвига и последовательного сложения получается итоговое умножение.

На бумаге умножение представляет собой совокупность операций сложения. Например, необходимо произвести умножение 10₁₀ на 40₁₀.

Преобразуем их в совокупность 0 и 1:

10₁₀ =00001010₂

40₁₀ = 00101000₂

Оба числа в двоичной форме имеют слева и справа несколько нулей, которые не играют роли в операции умножения. Значимые части – это 101 в числе 10 и 101 в числе 40, расположенные между нулями. Их нужно перемножить, а нули просто дописать в итоговом результате:

	Незначимые нули слева	Значимая часть	Незначимые нули справа
Первый множитель	0000	101	0
Второй множитель	00	101	000
Промежуточный этап умножения		101 101
Результат умножения	000000	11001	0000
Итоговый результат			000000110010000

Перемножаем левую и правую единицу второго множителя на первый множитель, затем суммируем полученный промежуточный результат. Нули складываем и переписываем в итоговый результат умножения, который в двоичной форме выглядит так: 000000110010000₂ (нижняя строчка слева направо).

Проверяя, получаем:

1 * 2⁸ + 1 * 2⁷ + 1 * 2⁴ = 256 + 128 + 16 = 400.

Деление.

Это довольно сложное преобразование над двоичной формой записи, потому что возможны случаи деления с остатком.

Рассмотрим наиболее простой пример деления без остатка. Надо разделить 14₁₀ на 2₁₀. В двоичном виде это выглядит так:

14₁₀ = 1110₂.

2₁₀ = 10₂.

Делим 1110₂ на 10₂ в столбик:

_1110 |10

10 111

_11

_10

Получаем число 111₂, что равняется 7 в десятичной системе счисления. При проверке умножением доказываем точность результата:

	Значимая часть	Незначимые нули справа
Первый множитель	111
Второй множитель	1	0
Итоговый результат	111	0